03.09.2026 |

Kotne funkcije: sinus, kosinus in tangens

Kotne funkcije povezujejo kote in stranice v pravokotnem trikotniku. Ko v pravokotnem trikotniku poznaš en kot in eno stranico, lahko z njimi izračunaš manjkajočo stranico. Če poznaš dve stranici, pa lahko poiščeš kot.

Na začetku se največkrat zaplete pri tem, katera stranica je nasprotna, katera priležna in katero funkcijo sploh izbrati. Dajmo zato najprej urediti te tri pojme, potem pa bomo sinus, kosinus in tangens uporabili še na konkretnih primerih.

Hitri pregled

SINUS = nasprotna kateta / hipotenuza

KOSINUS = priležna kateta / hipotenuza

TANGENS = nasprotna kateta / priležna kateta

Kaj so kotne funkcije?

V pravokotnem trikotniku izberemo enega od ostrih kotov in ga označimo z α. Stranice nato poimenujemo glede na ta kot:

• hipotenuza je najdaljša stranica in leži nasproti pravega kota;
• nasprotna kateta leži nasproti kota α;
• priležna kateta se kota α dotika skupaj s hipotenuzo.

(!) Če zamenjaš kot, ki ga opazuješ, se zamenjata tudi nasprotna in priležna kateta. Hipotenuza pa ostane vedno ista.

Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku

Iz teh treh stranic sestavimo tri razmerja. To so sinus, kosinus in tangens.

sin α = nasprotna kateta / hipotenuza

cos α = priležna kateta / hipotenuza

tan α = nasprotna kateta / priležna kateta

Če se ti formule med seboj mešajo, ne začni z učenjem vseh treh na pamet. Najprej na skici označi stranice glede na kot α. Ko vidiš, kateri dve stranici nastopata v nalogi, je izbira funkcije veliko lažja.

Sinus, kosinus in tangens

Sinus

Sinus povezuje nasprotno kateto in hipotenuzo. Če v nalogi nastopata ti dve stranici, uporabiš sinus.

sin α = nasprotna kateta / hipotenuza

Primer: nasprotna kateta meri 3 cm, hipotenuza pa 5 cm. Potem je sin α = 3/5 = 0,6.

Kosinus

Kosinus povezuje priležno kateto in hipotenuzo.

cos α = priležna kateta / hipotenuza

Če priležna kateta meri 4 cm, hipotenuza pa 5 cm, dobimo cos α = 4/5 = 0,8.

Tangens

Tangens uporablja obe kateti, hipotenuze pa sploh ne potrebuje.

tan α = nasprotna kateta / priležna kateta

Pri trikotniku z nasprotno kateto 3 cm in priležno kateto 4 cm je tan α = 3/4 = 0,75.

Tabela kotnih funkcij

Nekateri koti se pri nalogah pojavljajo znova in znova. Za 0°, 30°, 45°, 60° in 90° je dobro poznati eksaktne vrednosti sinusa in kosinusa, pri tangensu pa pazi na 90°.

Tabelo bereš po stolpcih. Če na primer pogledaš stolpec pri 60°, dobiš sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2 in tan 60° = √3.

(!) Tangens 90° ni definiran, ker je pri tan α v imenovalcu priležna kateta. Pri 90° bi bila ta vrednost 0, z 0 pa ne smemo deliti.

Kako izračunamo kotne funkcije?

Pri večini nalog je račun kratek. Več dela je z izbiro prave funkcije. Pomaga, če greš vedno po istem vrstnem redu:

1. označi kot, ki ga opazuješ;
2. poimenuj hipotenuzo, nasprotno in priležno kateto;
3. poglej, katero stranico poznaš in katero iščeš;
4. izberi sinus, kosinus ali tangens;
5. vstavi podatke in izračunaj.

Recimo, da je α = 28°, hipotenuza pa meri 10 cm. Iščemo nasprotno kateto a. Ker nastopata nasprotna kateta in hipotenuza, uporabimo sinus.

sin 28° = a / 10

a = 10 · sin 28° ≈ 10 · 0,4695 ≈ 4,70 cm

Namig: Če si pravilno označil stranice, si naredil že polovico naloge. Največ napak nastane, ko učenec zamenja priležno in nasprotno kateto.

Izračun neznane stranice

V pravokotnem trikotniku je α = 60°, priležna kateta meri 5 cm, iščemo pa hipotenuzo c. Priležna kateta in hipotenuza pomenita kosinus.

cos 60° = 5 / c

c = 5 / cos 60° = 5 / 0,5 = 10 cm

Izračun neznanega kota

Če poznaš dve stranici in iščeš kot, uporabiš inverzno kotno funkcijo. Recimo, da nasprotna kateta meri 8 cm, priležna pa 5 cm.

tan α = 8 / 5 = 1,6

α = tan⁻¹(1,6) ≈ 58,0°

Na kalkulatorju boš do tan⁻¹ običajno prišel s tipko SHIFT ali 2nd in nato s tipko tan.

Kako izračunati kotne funkcije na kalkulatorju?

Če iščeš vrednost kotne funkcije, na kalkulator vpišeš funkcijo in kot. Na primer sin 30° = 0,5. Enako narediš s cos in tan.

(!) Pri šolskih nalogah so koti pogosto podani v stopinjah. Takrat mora biti kalkulator nastavljen na DEG. Če je nastavljen na RAD, bo rezultat drugačen.

Če pa poznaš vrednost funkcije in iščeš kot, uporabiš inverzno funkcijo. Če je sin α = 0,5, na kalkulatorju izračunaš sin⁻¹(0,5) in dobiš α = 30°.

Zveze med kotnimi funkcijami

Sinus, kosinus in tangens istega kota niso ločene stvari. Med njimi veljajo zveze, s katerimi lahko iz ene znane vrednosti dobiš še drugi dve.

sin² α + cos² α = 1

tan α = sin α / cos α

Poglej primer. Če je sin α = 0,8 in je α oster kot, iz prve zveze dobimo:

cos α = √(1 – 0,8²) = √0,36 = 0,6

tan α = 0,8 / 0,6 ≈ 1,33

Pri ostrem kotu vzamemo pozitivno vrednost kosinusa.

Kotne funkcije na enotski krožnici

Do zdaj smo sinus, kosinus in tangens razlagali s pravokotnim trikotnikom. To je dovolj za ostre kote med 0° in 90°. Kaj pa kot 120° ali -30°? Tu nam pomaga enotska krožnica.

Enotska krožnica ima polmer 1 in središče v izhodišču koordinatnega sistema. Kot α merimo od pozitivne smeri osi x. Krak kota seka krožnico v točki T.

T = (cos α, sin α)

Koordinata x točke T je torej cos α, koordinata y pa sin α. S tem lahko kotne funkcije obravnavamo tudi pri kotih, večjih od 90°, pri negativnih kotih in pri kotih nad 360°.

Grafi kotnih funkcij

Če vrednosti sinusa, kosinusa ali tangensa narišemo v koordinatni sistem za več zaporednih kotov, dobimo njihove grafe.

Graf sinusne funkcije

Graf sin(x) je valovita krivulja. Njegove vrednosti so med -1 in 1. Pri x = 0 je vrednost 0, pri x = π/2 je 1, pri x = π pa spet 0.

Graf kosinusne funkcije

Graf cos(x) ima enako valovito obliko kot sinus, le da se začne pri vrednosti 1.

Graf tangensne funkcije

Tangens izgleda drugače. Graf je sestavljen iz ponavljajočih se vej. Pri kotih, kjer je cos x = 0, tangens ni definiran in graf se približa navpični asimptoti.

Kdaj uporabljamo kotne funkcije?

Kotne funkcije niso namenjene samo nalogam v zvezku. Uporabimo jih povsod, kjer imamo kot in dolžino ter želimo izračunati drugo dolžino ali obratno.

• višina drevesa ali stavbe iz razdalje in kota opazovanja;
• naklon strehe, klančine ali ceste;
• razdalja do točke, ki je ne moremo neposredno izmeriti;
• geometrijske naloge s trikotniki;
• izračuni pri fiziki, gradbeništvu, strojništvu in navigaciji.

Kotne funkcije – rešeni primeri

Dajmo zdaj skupaj rešiti nekaj tipičnih nalog. Pri vsaki najprej poglej, katere stranice nastopajo, šele nato izberi funkcijo.

Primer 1: Izračun vrednosti kotnih funkcij

Nasprotna kateta meri 3 cm, hipotenuza pa 5 cm. Izračunaj sin α, cos α in tan α.

Najprej potrebujemo še priležno kateto. Po Pitagorovem izreku je √(5² – 3²) = 4 cm.

sin α = 3/5 = 0,6

cos α = 4/5 = 0,8

tan α = 3/4 = 0,75

Primer 2: Izračun neznane stranice

Kot α = 35°, hipotenuza c = 12 cm. Izračunaj nasprotno kateto a.

Uporabimo sinus:

sin 35° = a / 12

a = 12 · sin 35° ≈ 6,88 cm

Primer 3: Izračun neznanega kota

Kateti merita 9 cm in 12 cm. Kot α leži nasproti krajši kateti.

Hipotenuza je 15 cm, zato lahko uporabimo sinus:

sin α = 9/15 = 0,6

α = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,9°

Primer 4: Zveze med kotnimi funkcijami

Dana je vrednost cos α = 0,28, kot α pa je oster. Izračunaj sin α in tan α.

sin α = √(1 – 0,28²) = √0,9216 = 0,96

tan α = 0,96 / 0,28 ≈ 3,43

Primer 5: Besedilna naloga

Opazovalec stoji 20 m od vznožja stolpa. Vrh vidi pod kotom 40° nad vodoravnico. Kolikšna je višina stolpa?

Razdalja 20 m je priležna kateta, višina stolpa pa nasprotna. Uporabimo tangens:

tan 40° = h / 20

h = 20 · tan 40° ≈ 16,8 m

Kotne funkcije – vaje z rešitvami

Zdaj poskusi sam. Rešitve so spodaj, ampak jih poglej šele, ko nalogo res poskusiš rešiti.

1. V pravokotnem trikotniku je nasprotna kateta kota α dolga 5 cm, hipotenuza pa 13 cm. Izračunaj sin α, cos α in tan α.
2. Kot α = 50°, hipotenuza meri 8 cm. Izračunaj dolžini obeh katet.
3. Kot α = 42°, priležna kateta meri 7 cm. Izračunaj hipotenuzo in nasprotno kateto.
4. cos α = 0,6, kot α pa je oster. Izračunaj sin α in tan α.
5. Lestev je dolga 4 m in s tlemi oklepa kot 65°. Kako visoko na steni sega?
6. Opazovalec na vrhu 30 m visokega stolpa vidi avto pod kotom 25° pod vodoravnico. Kako daleč od vznožja stolpa je avto?
7. Kateti pravokotnega trikotnika merita 6 cm in 8 cm. Izračunaj kot, ki leži nasproti krajši kateti.
8. Preveri, da za α = 30° velja sin² α + cos² α = 1.

Rešitve

Ti kotne funkcije še vedno povzročajo težave?

Če se ti pri nalogah zatakne pri izbiri funkcije, označevanju stranic ali delu s kalkulatorjem, lahko snov predelaš skupaj z inštruktorjem. Pri Horizontu lahko razlago ponoviš, rešiš dodatne naloge in se pripraviš na test ali spraševanje.

Če želiš snov predelati skupaj z inštruktorjem, si oglej možnosti za individualno pomoč pri matematiki.