Linearna funkcija

05.06.2024 | Matematika

Kaj je linearna funkcija?

oblike linearne funkcije Linearna funkcija je ena najosnovnejših funkcij v matematiki – povejmo po domače: če imamo v koordinatnem sistemu neskončno točk, ki vse ležijo na isti premici, lahko vse te točke naekrat povzamemo oziroma predstavimo s predpisom linearne funkcije. (No, edino navpičnih premic ne moremo tako predstaviti, ampak tudi ta problem so matematiki rešili. So brihtne glavce, saj vem.)

Linearna funkcija ima predpis $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ je enak $f(x)=k\cdot x + n$ , kjer sta $k$ in $n$ neki realni števili. Ravno vrednosti teh dveh števil $k$ in $n$ določata, katera premica opisuje te točke. Zapis neskončnega števila točk smo tako zreducirali na dve vrednosti, $k$ in $n$ . Impresivno, kajne?

Še več, matematiki so odkrili, da števili $k$ in $n$ v sebi nosita informacijo, kako ta premica izgleda! Število $k$ je smerni koeficient, ki določa strmino premice. Število $n$ pa imenujemo začetna vrednost in nam pove, kje premica seka $y$ os. In ne samo to!

Lastnosti linearne funkcije

Matematiki so ugotovili so tudi, da:

$\begin{itemize} \item je premica nara\v{s}\v{c}ajo\v{c}a, \v{c}e je $k>0$ \item je premica padajo\v{c}a, \v{c}e je $k<0$ \item je premica konstantna, \v{c}e je $k=0$ \end{itemize}$

Naraščajoča linearna funkcija

Če imamo podani dve točki na grafu linearne funkcije, npr. $T_1(x_1,y_1)$ in $T_2(x_2,y_2)$ , lahko $k$ izračunamo s spodnjo formulo:

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Ker pa so matematiki radovedne sorte, so si postavili še cel kup drugih vprašanj. Kje premica seka $x$ os (kje namreč seka $y$ os smo že ugotovili — poglej gor) ali pa pod kakšnim kotom premica narašča oz. pada? Sami številki $k$ in $n$ nam tega ne znata direktno povedati. Do odgovora pridemo, če znamo predpis funkcije pravilno uporabiti.

Poglejmo najprej, kako izračunamo, kje linearna funkcija $f$ seka $x$ os. Na grafu je to točka $(x_0,0)$ , kar pomeni, da mora veljati

$f(x_0)=k\cdot x_0 + n = 0$

Rešitev te enačbe nam pove, kje graf linearne funkcije seka $x$ os.
Temu rečemo tudi ničla funkcije. Ničla linearne funkcije

Glede naklonskega kota $\varphi$ premice, ki je predstavljena s predpisom $f(x)=k\cdot x +n$ , pa velja

$\tan \varphi = k$

Zanimivo, kako se vse tako lepo izide!

Oblike linearne funkcije

Ker matematikom še ni bilo dovolj, so raziskovali dalje in ugotovili, da lahko enačbo premice zapišejo na tri različne načine. Recimo, da imamo premico, ki jo predstavimo kot graf linearne funkcije $f(x)=k\cdot x + n$ . Prva možna oblika za enačbo premice je najbolj enostavna: $f(x)$ zamenjamo z $y$ in dobimo:

$y=k\cdot x + n$

Pa so se matematiki igrali naprej in prišli do naslednje oblike:

Ta oblika jim je navse ljuba, saj lahko predstavlja tudi navpične premice, ki jih prva ne more. Potem pa obstaja še tretja, ki je namenjena še posebej lenim matematikom, saj je iz nje najlažje narisati premico v koordinatni sistem. Izleda pa takole:

$\frac{x}{m}+ \frac{y}{n}=1$

Da so se lahko matematiki o vseh teh treh oblikah pogovarjali, si izmenjevali trače in zgodbe, so vsako od njih poimenovali. Tako kot starši poimenujejo svoje otroke, da se lahko potem pred sosedom pohvalijo, kako je
“Peter danes sestavil domiseln indijanski šotor iz bobi palčk!”
Poimenovanje gre takole:

$\begin{array}{cc} \textrm{eksplicitna oblika} & y=k\cdot x + n\\ \textrm{implicitna oblika} & ax+by - c = 0\\ \textrm{odsekovna oblika} & \frac{x}{m}+ \frac{y}{n}=1\\ \end{array}$

Če te zanima, kako preoblikuješ eno obliko v drugo, si poglej še naš spodnji video posnetek.

Enačbo $y=\frac{3}{2}x+3$ preoblikuj v implicitno in odsekovno obliko.

V implicitno obliko preoblikujemo tako, da damo vse na levo stran, saj mora biti na desni strani le število 0. Če imamo še kakšne ulomke, se jih znebimo tako, da množimo s skupnim imenovalcem.
V odsekovno obliko preoblikujemo tako, da damo vse razen števila na levo stran. Dobljeno enačbo nato delimo s številom na desni strani, da dobimo na desni strani število 1.

Kot med premicama

Ne boste verjeli, ampak matematikom še ni bilo dovolj. Zanimalo jih je, kaj vse lahko izračunajo, če imajo dve premici! Ne bomo komentirali, kajne?

Ugotovili smo, da lahko iz smernih koeficientov zelo hitro ugotovimo, če sta premici vzporedni ali če sta pravokotni. Če imamo npr. dve premici, ena ima enačbo $y_1=k_1\cdot x + n_1$ , druga pa $y_2=k_2\cdot x + n_2$ , velja, da:

$\begin{itemize} \item sta premici vzporedni, natako takrat ko sta smerna koeficienta enaka, torej $k_1=k_2$ \item sta premici pravokotni, natanko takrat ko za smerna koeficienta velja $k_1\cdot k_2=-1$ (ali $k_2=-\frac{1}{k_1}$) \end{itemize}$

Izračunamo lahko njuno presečišče, ki je vedno ena točka, razen če sta premici vzporedni (v tem primeru presečišča ni). Koordinate točke dobimo tako, da rešimo sistem enačb, ki predstavljata premici. Kako točno to izleda v praksi, si poglej v video posnetku.

Pa da ne pozabimo še na kot! Pod kakšnim kotom se sekata, če nista vzporedni? Tudi na to so našli odgovor, in sicer za kot $\phi$ med premicama velja $\tan\phi=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|$

V spodnjih videih si lahko ogledaš nekaj nalog iz snovi
LINEARNA FUNKCIJA.

Nariši graf linearne fukcije $f(x)= 3x +1$
Iz predpisa razberi, ali bo premica naraščala ali padala ter to utemelji.
Zapiši enačbo premice in začetno vrednost.
Izračunaj ničlo.

Ker je smerni koeficient $k=3$ pozitiven, bo funkcija naraščala. Njena začetna vrednost je 1 (to preberemo iz predpisa funkcije). Enačba premice je enaka $y=3x+1.$ Ničlo izračunamo tako, da rešimo enačbo $3x+1=0$ , dobimo $x=-\frac{1}{3}.$ Graf narišemo tako, da v koordinatni sistem vrišemo začetno vrednost (ta leži na y os) in ničlo (leži na x osi) in skozi te dve točki povlečemo premico.

Zapiši enačbo premice, ki gre skozi točko $A(4,-3)$ in je vzporedna premici z enačbo $3x-y+2=0$

Vzporedni premici imata enak smerni koeficient. Izračunamo ga tako, da enačbo premice $3x-y+2=0$ preoblikujemo v eksplicitno obliko. Enačba iskane premice je potem enaka $y=3x+n$ . Izračunati moramo še začetno vrednost. To naredimo tako, da v to enačbo vstavimo točko A in izračunamo n.

Če te v zvezi s snovjo Linearna funkcija še karkoli zanima ali pa potrebuješ pomoč pri učenju, pridi na inštrukcije matematike, kjer ti z veseljem pomagamo, da poglobiš svoje znanje.

INŠTRUKCIJE MATEMATIKE

Deli na družabnih omrežjih

Prijavi se na e-novice

Potrebuješ inštrukcije? Piši nam.

Kontakt